\(\int \frac {(a+b \tan (e+f x)) (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x))}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx\) [79]

Optimal result

Integrand size = 43, antiderivative size = 292 \[ \int \frac {(a+b \tan (e+f x)) \left (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x)\right )}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx=-\frac {\left (a \left (c^2 C-2 B c d-C d^2-A \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) x}{\left (c^2+d^2\right )^2}-\frac {\left (a \left (B c^2+2 c C d-B d^2\right )-b \left (c^2 C-2 B c d-C d^2\right )-A \left (2 a c d-b \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) \log (\cos (e+f x))}{\left (c^2+d^2\right )^2 f}+\frac {\left (b \left (c^4 C-c^2 (A-3 C) d^2-2 B c d^3+A d^4\right )+a d^2 \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) \log (c+d \tan (e+f x))}{d^2 \left (c^2+d^2\right )^2 f}+\frac {(b c-a d) \left (c^2 C-B c d+A d^2\right )}{d^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))} \]

[Out]

-(a*(c^2*C-2*B*c*d-C*d^2-A*(c^2-d^2))-b*(2*c*(A-C)*d-B*(c^2-d^2)))*x/(c^2+d^2)^2-(a*(B*c^2-B*d^2+2*C*c*d)-b*(-
2*B*c*d+C*c^2-C*d^2)-A*(2*a*c*d-b*(c^2-d^2)))*ln(cos(f*x+e))/(c^2+d^2)^2/f+(b*(c^4*C-c^2*(A-3*C)*d^2-2*B*c*d^3
+A*d^4)+a*d^2*(2*c*(A-C)*d-B*(c^2-d^2)))*ln(c+d*tan(f*x+e))/d^2/(c^2+d^2)^2/f+(-a*d+b*c)*(A*d^2-B*c*d+C*c^2)/d
^2/(c^2+d^2)/f/(c+d*tan(f*x+e))

Rubi [A] (verified)

Time = 0.55 (sec) , antiderivative size = 288, normalized size of antiderivative = 0.99, number of steps used = 5, number of rules used = 5, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.116, Rules used = {3716, 3707, 3698, 31, 3556} \[ \int \frac {(a+b \tan (e+f x)) \left (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x)\right )}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx=\frac {(b c-a d) \left (A d^2-B c d+c^2 C\right )}{d^2 f \left (c^2+d^2\right ) (c+d \tan (e+f x))}+\frac {\log (\cos (e+f x)) \left (2 a A c d-a B \left (c^2-d^2\right )-2 a c C d-A b \left (c^2-d^2\right )+b \left (-2 B c d+c^2 C-C d^2\right )\right )}{f \left (c^2+d^2\right )^2}-\frac {x \left (a \left (-A \left (c^2-d^2\right )-2 B c d+c^2 C-C d^2\right )-b \left (2 c d (A-C)-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right )}{\left (c^2+d^2\right )^2}+\frac {\left (a d^2 \left (2 c d (A-C)-B \left (c^2-d^2\right )\right )+b \left (-c^2 d^2 (A-3 C)+A d^4-2 B c d^3+c^4 C\right )\right ) \log (c+d \tan (e+f x))}{d^2 f \left (c^2+d^2\right )^2} \]

[In]

Int[((a + b*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^2,x]

[Out]

-(((a*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - b*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*x)/(c^2 + d^2)^2) + ((2*a
*A*c*d - 2*a*c*C*d - A*b*(c^2 - d^2) - a*B*(c^2 - d^2) + b*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2
+ d^2)^2*f) + ((b*(c^4*C - c^2*(A - 3*C)*d^2 - 2*B*c*d^3 + A*d^4) + a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Lo
g[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^2*(c^2 + d^2)^2*f) + ((b*c - a*d)*(c^2*C - B*c*d + A*d^2))/(d^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d
*Tan[e + f*x]))

Rule 31

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(-1), x_Symbol] :> Simp[Log[RemoveContent[a + b*x, x]]/b, x] /; FreeQ[{a, b}, x]

Rule 3556

Int[tan[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-Log[RemoveContent[Cos[c + d*x], x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 3698

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_) + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Dist[
A/(b*f), Subst[Int[(a + x)^m, x], x, b*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] && EqQ[A, C]

Rule 3707

Int[((A_) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*
(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(a*A + b*B - a*C)*(x/(a^2 + b^2)), x] + (Dist[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2 + b^2), I
nt[(1 + Tan[e + f*x]^2)/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Dist[(A*b - a*B - b*C)/(a^2 + b^2), Int[Tan[e + f*x], x
], x]) /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[A*b - a
*B - b*C, 0]

Rule 3716

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e
_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d))*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)
*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(d^2*f*(n + 1)*(c^2 + d^2))), x] + Dist[1/(d*(c^2 + d^2)), Int[(c + d*Tan[e + f
*x])^(n + 1)*Simp[a*d*(A*c - c*C + B*d) + b*(c^2*C - B*c*d + A*d^2) + d*(A*b*c + a*B*c - b*c*C - a*A*d + b*B*d
+ a*C*d)*Tan[e + f*x] + b*C*(c^2 + d^2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[n, -1]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {(b c-a d) \left (c^2 C-B c d+A d^2\right )}{d^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))}+\frac {\int \frac {a d (A c-c C+B d)+b \left (c^2 C-B c d+A d^2\right )+d (A b c+a B c-b c C-a A d+b B d+a C d) \tan (e+f x)+b C \left (c^2+d^2\right ) \tan ^2(e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{d \left (c^2+d^2\right )} \\ & = -\frac {\left (a \left (c^2 C-2 B c d-C d^2-A \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) x}{\left (c^2+d^2\right )^2}+\frac {(b c-a d) \left (c^2 C-B c d+A d^2\right )}{d^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))}-\frac {\left (2 a A c d-2 a c C d-A b \left (c^2-d^2\right )-a B \left (c^2-d^2\right )+b \left (c^2 C-2 B c d-C d^2\right )\right ) \int \tan (e+f x) \, dx}{\left (c^2+d^2\right )^2}+\frac {\left (b \left (c^4 C-c^2 (A-3 C) d^2-2 B c d^3+A d^4\right )+a d^2 \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) \int \frac {1+\tan ^2(e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{d \left (c^2+d^2\right )^2} \\ & = -\frac {\left (a \left (c^2 C-2 B c d-C d^2-A \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) x}{\left (c^2+d^2\right )^2}+\frac {\left (2 a A c d-2 a c C d-A b \left (c^2-d^2\right )-a B \left (c^2-d^2\right )+b \left (c^2 C-2 B c d-C d^2\right )\right ) \log (\cos (e+f x))}{\left (c^2+d^2\right )^2 f}+\frac {(b c-a d) \left (c^2 C-B c d+A d^2\right )}{d^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))}+\frac {\left (b \left (c^4 C-c^2 (A-3 C) d^2-2 B c d^3+A d^4\right )+a d^2 \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{c+x} \, dx,x,d \tan (e+f x)\right )}{d^2 \left (c^2+d^2\right )^2 f} \\ & = -\frac {\left (a \left (c^2 C-2 B c d-C d^2-A \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) x}{\left (c^2+d^2\right )^2}+\frac {\left (2 a A c d-2 a c C d-A b \left (c^2-d^2\right )-a B \left (c^2-d^2\right )+b \left (c^2 C-2 B c d-C d^2\right )\right ) \log (\cos (e+f x))}{\left (c^2+d^2\right )^2 f}+\frac {\left (b \left (c^4 C-c^2 (A-3 C) d^2-2 B c d^3+A d^4\right )+a d^2 \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) \log (c+d \tan (e+f x))}{d^2 \left (c^2+d^2\right )^2 f}+\frac {(b c-a d) \left (c^2 C-B c d+A d^2\right )}{d^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))} \\ \end{align*}

Mathematica [C] (verified)

Result contains complex when optimal does not.

Time = 2.48 (sec) , antiderivative size = 221, normalized size of antiderivative = 0.76 \[ \int \frac {(a+b \tan (e+f x)) \left (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x)\right )}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx=\frac {\frac {(-i a+b) (A+i B-C) \log (i-\tan (e+f x))}{(c+i d)^2}+\frac {(i a+b) (A-i B-C) \log (i+\tan (e+f x))}{(c-i d)^2}+\frac {2 \left (b \left (c^4 C-c^2 (A-3 C) d^2-2 B c d^3+A d^4\right )+a d^2 \left (2 c (A-C) d+B \left (-c^2+d^2\right )\right )\right ) \log (c+d \tan (e+f x))}{d^2 \left (c^2+d^2\right )^2}+\frac {2 (b c-a d) \left (c^2 C-B c d+A d^2\right )}{d^2 \left (c^2+d^2\right ) (c+d \tan (e+f x))}}{2 f} \]

[In]

Integrate[((a + b*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^2,x]

[Out]

((((-I)*a + b)*(A + I*B - C)*Log[I - Tan[e + f*x]])/(c + I*d)^2 + ((I*a + b)*(A - I*B - C)*Log[I + Tan[e + f*x
]])/(c - I*d)^2 + (2*(b*(c^4*C - c^2*(A - 3*C)*d^2 - 2*B*c*d^3 + A*d^4) + a*d^2*(2*c*(A - C)*d + B*(-c^2 + d^2
)))*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^2*(c^2 + d^2)^2) + (2*(b*c - a*d)*(c^2*C - B*c*d + A*d^2))/(d^2*(c^2 + d^2)*(c
+ d*Tan[e + f*x])))/(2*f)

Maple [A] (verified)

Time = 0.24 (sec) , antiderivative size = 321, normalized size of antiderivative = 1.10

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {\frac {\frac {\left (-2 A a c d +A b \,c^{2}-A b \,d^{2}+B a \,c^{2}-B a \,d^{2}+2 B b c d +2 C a c d -C b \,c^{2}+C b \,d^{2}\right ) \ln \left (1+\tan \left (f x +e \right )^{2}\right )}{2}+\left (A a \,c^{2}-A a \,d^{2}+2 A b c d +2 B a c d -B b \,c^{2}+B b \,d^{2}-C a \,c^{2}+C a \,d^{2}-2 C b c d \right ) \arctan \left (\tan \left (f x +e \right )\right )}{\left (c^{2}+d^{2}\right )^{2}}-\frac {A a \,d^{3}-A b c \,d^{2}-B a c \,d^{2}+B b \,c^{2} d +C a \,c^{2} d -C b \,c^{3}}{d^{2} \left (c^{2}+d^{2}\right ) \left (c +d \tan \left (f x +e \right )\right )}+\frac {\left (2 A a c \,d^{3}-A b \,c^{2} d^{2}+A b \,d^{4}-B a \,c^{2} d^{2}+B a \,d^{4}-2 B b c \,d^{3}-2 C a c \,d^{3}+C b \,c^{4}+3 C b \,c^{2} d^{2}\right ) \ln \left (c +d \tan \left (f x +e \right )\right )}{\left (c^{2}+d^{2}\right )^{2} d^{2}}}{f}\)	\(321\)
default	\(\frac {\frac {\frac {\left (-2 A a c d +A b \,c^{2}-A b \,d^{2}+B a \,c^{2}-B a \,d^{2}+2 B b c d +2 C a c d -C b \,c^{2}+C b \,d^{2}\right ) \ln \left (1+\tan \left (f x +e \right )^{2}\right )}{2}+\left (A a \,c^{2}-A a \,d^{2}+2 A b c d +2 B a c d -B b \,c^{2}+B b \,d^{2}-C a \,c^{2}+C a \,d^{2}-2 C b c d \right ) \arctan \left (\tan \left (f x +e \right )\right )}{\left (c^{2}+d^{2}\right )^{2}}-\frac {A a \,d^{3}-A b c \,d^{2}-B a c \,d^{2}+B b \,c^{2} d +C a \,c^{2} d -C b \,c^{3}}{d^{2} \left (c^{2}+d^{2}\right ) \left (c +d \tan \left (f x +e \right )\right )}+\frac {\left (2 A a c \,d^{3}-A b \,c^{2} d^{2}+A b \,d^{4}-B a \,c^{2} d^{2}+B a \,d^{4}-2 B b c \,d^{3}-2 C a c \,d^{3}+C b \,c^{4}+3 C b \,c^{2} d^{2}\right ) \ln \left (c +d \tan \left (f x +e \right )\right )}{\left (c^{2}+d^{2}\right )^{2} d^{2}}}{f}\)	\(321\)
norman	\(\frac {\frac {c \left (A a \,c^{2}-A a \,d^{2}+2 A b c d +2 B a c d -B b \,c^{2}+B b \,d^{2}-C a \,c^{2}+C a \,d^{2}-2 C b c d \right ) x}{c^{4}+2 c^{2} d^{2}+d^{4}}+\frac {d \left (A a \,c^{2}-A a \,d^{2}+2 A b c d +2 B a c d -B b \,c^{2}+B b \,d^{2}-C a \,c^{2}+C a \,d^{2}-2 C b c d \right ) x \tan \left (f x +e \right )}{c^{4}+2 c^{2} d^{2}+d^{4}}-\frac {A a \,d^{3}-A b c \,d^{2}-B a c \,d^{2}+B b \,c^{2} d +C a \,c^{2} d -C b \,c^{3}}{d^{2} f \left (c^{2}+d^{2}\right )}}{c +d \tan \left (f x +e \right )}+\frac {\left (2 A a c \,d^{3}-A b \,c^{2} d^{2}+A b \,d^{4}-B a \,c^{2} d^{2}+B a \,d^{4}-2 B b c \,d^{3}-2 C a c \,d^{3}+C b \,c^{4}+3 C b \,c^{2} d^{2}\right ) \ln \left (c +d \tan \left (f x +e \right )\right )}{\left (c^{4}+2 c^{2} d^{2}+d^{4}\right ) f \,d^{2}}-\frac {\left (2 A a c d -A b \,c^{2}+A b \,d^{2}-B a \,c^{2}+B a \,d^{2}-2 B b c d -2 C a c d +C b \,c^{2}-C b \,d^{2}\right ) \ln \left (1+\tan \left (f x +e \right )^{2}\right )}{2 f \left (c^{4}+2 c^{2} d^{2}+d^{4}\right )}\)	\(438\)
parallelrisch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1210\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1523\)

[In]

int((a+b*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e))^2,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/f*(1/(c^2+d^2)^2*(1/2*(-2*A*a*c*d+A*b*c^2-A*b*d^2+B*a*c^2-B*a*d^2+2*B*b*c*d+2*C*a*c*d-C*b*c^2+C*b*d^2)*ln(1+
tan(f*x+e)^2)+(A*a*c^2-A*a*d^2+2*A*b*c*d+2*B*a*c*d-B*b*c^2+B*b*d^2-C*a*c^2+C*a*d^2-2*C*b*c*d)*arctan(tan(f*x+e
)))-(A*a*d^3-A*b*c*d^2-B*a*c*d^2+B*b*c^2*d+C*a*c^2*d-C*b*c^3)/d^2/(c^2+d^2)/(c+d*tan(f*x+e))+(2*A*a*c*d^3-A*b*
c^2*d^2+A*b*d^4-B*a*c^2*d^2+B*a*d^4-2*B*b*c*d^3-2*C*a*c*d^3+C*b*c^4+3*C*b*c^2*d^2)/(c^2+d^2)^2/d^2*ln(c+d*tan(
f*x+e)))

Fricas [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.34 (sec) , antiderivative size = 505, normalized size of antiderivative = 1.73 \[ \int \frac {(a+b \tan (e+f x)) \left (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x)\right )}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx=\frac {2 \, C b c^{3} d^{2} - 2 \, A a d^{5} - 2 \, {\left (C a + B b\right )} c^{2} d^{3} + 2 \, {\left (B a + A b\right )} c d^{4} + 2 \, {\left ({\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c^{3} d^{2} + 2 \, {\left (B a + {\left (A - C\right )} b\right )} c^{2} d^{3} - {\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c d^{4}\right )} f x + {\left (C b c^{5} - {\left (B a + {\left (A - 3 \, C\right )} b\right )} c^{3} d^{2} + 2 \, {\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c^{2} d^{3} + {\left (B a + A b\right )} c d^{4} + {\left (C b c^{4} d - {\left (B a + {\left (A - 3 \, C\right )} b\right )} c^{2} d^{3} + 2 \, {\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c d^{4} + {\left (B a + A b\right )} d^{5}\right )} \tan \left (f x + e\right )\right )} \log \left (\frac {d^{2} \tan \left (f x + e\right )^{2} + 2 \, c d \tan \left (f x + e\right ) + c^{2}}{\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1}\right ) - {\left (C b c^{5} + 2 \, C b c^{3} d^{2} + C b c d^{4} + {\left (C b c^{4} d + 2 \, C b c^{2} d^{3} + C b d^{5}\right )} \tan \left (f x + e\right )\right )} \log \left (\frac {1}{\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1}\right ) - 2 \, {\left (C b c^{4} d - A a c d^{4} - {\left (C a + B b\right )} c^{3} d^{2} + {\left (B a + A b\right )} c^{2} d^{3} - {\left ({\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c^{2} d^{3} + 2 \, {\left (B a + {\left (A - C\right )} b\right )} c d^{4} - {\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} d^{5}\right )} f x\right )} \tan \left (f x + e\right )}{2 \, {\left ({\left (c^{4} d^{3} + 2 \, c^{2} d^{5} + d^{7}\right )} f \tan \left (f x + e\right ) + {\left (c^{5} d^{2} + 2 \, c^{3} d^{4} + c d^{6}\right )} f\right )}} \]

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(2*C*b*c^3*d^2 - 2*A*a*d^5 - 2*(C*a + B*b)*c^2*d^3 + 2*(B*a + A*b)*c*d^4 + 2*(((A - C)*a - B*b)*c^3*d^2 +
2*(B*a + (A - C)*b)*c^2*d^3 - ((A - C)*a - B*b)*c*d^4)*f*x + (C*b*c^5 - (B*a + (A - 3*C)*b)*c^3*d^2 + 2*((A -
C)*a - B*b)*c^2*d^3 + (B*a + A*b)*c*d^4 + (C*b*c^4*d - (B*a + (A - 3*C)*b)*c^2*d^3 + 2*((A - C)*a - B*b)*c*d^4
+ (B*a + A*b)*d^5)*tan(f*x + e))*log((d^2*tan(f*x + e)^2 + 2*c*d*tan(f*x + e) + c^2)/(tan(f*x + e)^2 + 1)) -
(C*b*c^5 + 2*C*b*c^3*d^2 + C*b*c*d^4 + (C*b*c^4*d + 2*C*b*c^2*d^3 + C*b*d^5)*tan(f*x + e))*log(1/(tan(f*x + e)
^2 + 1)) - 2*(C*b*c^4*d - A*a*c*d^4 - (C*a + B*b)*c^3*d^2 + (B*a + A*b)*c^2*d^3 - (((A - C)*a - B*b)*c^2*d^3 +
2*(B*a + (A - C)*b)*c*d^4 - ((A - C)*a - B*b)*d^5)*f*x)*tan(f*x + e))/((c^4*d^3 + 2*c^2*d^5 + d^7)*f*tan(f*x
+ e) + (c^5*d^2 + 2*c^3*d^4 + c*d^6)*f)

Sympy [C] (verification not implemented)

Result contains complex when optimal does not.

Time = 1.62 (sec) , antiderivative size = 9721, normalized size of antiderivative = 33.29 \[ \int \frac {(a+b \tan (e+f x)) \left (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x)\right )}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)**2)/(c+d*tan(f*x+e))**2,x)

[Out]

Piecewise((zoo*x*(a + b*tan(e))*(A + B*tan(e) + C*tan(e)**2)/tan(e)**2, Eq(c, 0) & Eq(d, 0) & Eq(f, 0)), ((A*a
*x + A*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) + B*a*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) - B*b*x + B*b*tan(e + f*x)/f - C*
a*x + C*a*tan(e + f*x)/f - C*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) + C*b*tan(e + f*x)**2/(2*f))/c**2, Eq(d, 0)), (-
A*a*f*x*tan(e + f*x)**2/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + 2*I*A*a*f*x*tan(e +
f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + A*a*f*x/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I
*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - A*a*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d*
*2*f) + 2*I*A*a/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + I*A*b*f*x*tan(e + f*x)**2/(4
*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + 2*A*b*f*x*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)*
*2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - I*A*b*f*x/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d
**2*f) + I*A*b*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + I*B*a*f*x*tan(e
+ f*x)**2/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + 2*B*a*f*x*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*t
an(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - I*B*a*f*x/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e
+ f*x) - 4*d**2*f) + I*B*a*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + B*b*
f*x*tan(e + f*x)**2/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - 2*I*B*b*f*x*tan(e + f*x)
/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - B*b*f*x/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**
2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - 3*B*b*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2
*f) + 2*I*B*b/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + C*a*f*x*tan(e + f*x)**2/(4*d**
2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - 2*I*C*a*f*x*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2
- 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - C*a*f*x/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*
f) - 3*C*a*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + 2*I*C*a/(4*d**2*f*ta
n(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + 3*I*C*b*f*x*tan(e + f*x)**2/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 -
8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + 6*C*b*f*x*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*
x) - 4*d**2*f) - 3*I*C*b*f*x/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + 2*C*b*log(tan(e
+ f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)**2/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - 4*I*C*b*log(
tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - 2*C*b*log(
tan(e + f*x)**2 + 1)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - 5*I*C*b*tan(e + f*x)/(4
*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - 4*C*b/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*t
an(e + f*x) - 4*d**2*f), Eq(c, -I*d)), (-A*a*f*x*tan(e + f*x)**2/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e
+ f*x) - 4*d**2*f) - 2*I*A*a*f*x*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f)
+ A*a*f*x/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - A*a*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e +
f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - 2*I*A*a/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) -
4*d**2*f) - I*A*b*f*x*tan(e + f*x)**2/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + 2*A*b
*f*x*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + I*A*b*f*x/(4*d**2*f*tan(e
+ f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - I*A*b*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*ta
n(e + f*x) - 4*d**2*f) - I*B*a*f*x*tan(e + f*x)**2/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**
2*f) + 2*B*a*f*x*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + I*B*a*f*x/(4*d
**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - I*B*a*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8
*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + B*b*f*x*tan(e + f*x)**2/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*
x) - 4*d**2*f) + 2*I*B*b*f*x*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - B*
b*f*x/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - 3*B*b*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f
*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - 2*I*B*b/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4
*d**2*f) + C*a*f*x*tan(e + f*x)**2/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + 2*I*C*a*f
*x*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - C*a*f*x/(4*d**2*f*tan(e + f*
x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - 3*C*a*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e
+ f*x) - 4*d**2*f) - 2*I*C*a/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - 3*I*C*b*f*x*tan
(e + f*x)**2/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + 6*C*b*f*x*tan(e + f*x)/(4*d**2*
f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + 3*I*C*b*f*x/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*t
an(e + f*x) - 4*d**2*f) + 2*C*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)**2/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*
f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) + 4*I*C*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**
2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - 2*C*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f
*x) - 4*d**2*f) + 5*I*C*b*tan(e + f*x)/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f) - 4*C*b
/(4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) - 4*d**2*f), Eq(c, I*d)), (x*(a + b*tan(e))*(A + B*tan(e)
+ C*tan(e)**2)/(c + d*tan(e))**2, Eq(f, 0)), (2*A*a*c**3*d**2*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x)
+ 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*A*a*c**2*d**3*f*x*tan(
e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f
+ 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 4*A*a*c**2*d**3*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x
) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a*c**2*d**3*log(tan
(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2
*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a*c**2*d**3/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4
*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a*c*d**4*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c*
*4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 4*
A*a*c*d**4*log(c/d + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f +
4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a*c*d**4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e
+ f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f
+ 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a*d**5*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d*
*4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a*d**5/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d
**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*b*
c**3*d**2*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*
tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + A*b*c**3*d**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2
*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) +
2*A*b*c**3*d**2/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*
c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 4*A*b*c**2*d**3*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d
**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*b*c**2*d**3*log(c/d + tan(e + f
*x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2
*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + A*b*c**2*d**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c*
*4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 4*
A*b*c*d**4*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e
+ f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*A*b*c*d**4*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d*
*3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - A*b*c*d
**4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e
+ f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*A*b*c*d**4/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c
**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*A*b*d**5*log(c/d + tan(e + f
*x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2
*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - A*b*d**5*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d*
*3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*B*a*c
**3*d**2*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*t
an(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + B*a*c**3*d**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*
c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) +
2*B*a*c**3*d**2/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c
*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 4*B*a*c**2*d**3*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d*
*4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*B*a*c**2*d**3*log(c/d + tan(e + f*
x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*
c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + B*a*c**2*d**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**
4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 4*B
*a*c*d**4*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e +
f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*a*c*d**4*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**
3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - B*a*c*d*
*4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e
+ f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*a*c*d**4/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c*
*3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*a*d**5*log(c/d + tan(e + f*
x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*
c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - B*a*d**5*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**
3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*B*b*c*
*4*d/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2
*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*B*b*c**3*d**2*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c*
*2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*B*b*c**2*d**3*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f
+ 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x
)) - 4*B*b*c**2*d**3*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c
**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*b*c**2*d**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c*
*5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*ta
n(e + f*x)) - 2*B*b*c**2*d**3/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(
e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*b*c*d**4*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x)
+ 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 4*B*b*c*d**4*log(c/d + ta
n(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f
*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*b*c*d**4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f
+ 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)
) + 2*B*b*d**5*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*ta
n(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*C*a*c**4*d/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) +
4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*C*a*c**3*d**2*f*x/(2*c**5
*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(
e + f*x)) - 2*C*a*c**2*d**3*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c
**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 4*C*a*c**2*d**3*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**
5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan
(e + f*x)) + 2*C*a*c**2*d**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**
4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*C*a*c**2*d**3/(2*c**5*d**2*f + 2*c*
*4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*
C*a*c*d**4*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*
d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 4*C*a*c*d**4*log(c/d + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d*
*3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*a*c
*d**4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c*
*2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*a*d**5*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*
c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) +
2*C*b*c**5*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f
*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*b*c**5/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) +
4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*b*c**4*d*log(c/d + tan
(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*
x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 6*C*b*c**3*d**2*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**
3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - C*b*c**3
*d**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan
(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*b*c**3*d**2/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x)
+ 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 4*C*b*c**2*d**3*f*x/(2*c*
*5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*ta
n(e + f*x)) + 6*C*b*c**2*d**3*log(c/d + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x)
+ 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - C*b*c**2*d**3*log(tan(e
+ f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e
+ f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 4*C*b*c*d**4*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*ta
n(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + C*b*c*d**4*log
(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x)
+ 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + C*b*d**5*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**
4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)), True
))

Maxima [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.32 (sec) , antiderivative size = 319, normalized size of antiderivative = 1.09 \[ \int \frac {(a+b \tan (e+f x)) \left (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x)\right )}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx=\frac {\frac {2 \, {\left ({\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c^{2} + 2 \, {\left (B a + {\left (A - C\right )} b\right )} c d - {\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} d^{2}\right )} {\left (f x + e\right )}}{c^{4} + 2 \, c^{2} d^{2} + d^{4}} + \frac {2 \, {\left (C b c^{4} - {\left (B a + {\left (A - 3 \, C\right )} b\right )} c^{2} d^{2} + 2 \, {\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c d^{3} + {\left (B a + A b\right )} d^{4}\right )} \log \left (d \tan \left (f x + e\right ) + c\right )}{c^{4} d^{2} + 2 \, c^{2} d^{4} + d^{6}} + \frac {{\left ({\left (B a + {\left (A - C\right )} b\right )} c^{2} - 2 \, {\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c d - {\left (B a + {\left (A - C\right )} b\right )} d^{2}\right )} \log \left (\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1\right )}{c^{4} + 2 \, c^{2} d^{2} + d^{4}} + \frac {2 \, {\left (C b c^{3} - A a d^{3} - {\left (C a + B b\right )} c^{2} d + {\left (B a + A b\right )} c d^{2}\right )}}{c^{3} d^{2} + c d^{4} + {\left (c^{2} d^{3} + d^{5}\right )} \tan \left (f x + e\right )}}{2 \, f} \]

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(2*(((A - C)*a - B*b)*c^2 + 2*(B*a + (A - C)*b)*c*d - ((A - C)*a - B*b)*d^2)*(f*x + e)/(c^4 + 2*c^2*d^2 +
d^4) + 2*(C*b*c^4 - (B*a + (A - 3*C)*b)*c^2*d^2 + 2*((A - C)*a - B*b)*c*d^3 + (B*a + A*b)*d^4)*log(d*tan(f*x +
e) + c)/(c^4*d^2 + 2*c^2*d^4 + d^6) + ((B*a + (A - C)*b)*c^2 - 2*((A - C)*a - B*b)*c*d - (B*a + (A - C)*b)*d^
2)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4) + 2*(C*b*c^3 - A*a*d^3 - (C*a + B*b)*c^2*d + (B*a + A*b)*c*
d^2)/(c^3*d^2 + c*d^4 + (c^2*d^3 + d^5)*tan(f*x + e)))/f

Giac [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.62 (sec) , antiderivative size = 515, normalized size of antiderivative = 1.76 \[ \int \frac {(a+b \tan (e+f x)) \left (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x)\right )}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx=\frac {\frac {2 \, {\left (A a c^{2} - C a c^{2} - B b c^{2} + 2 \, B a c d + 2 \, A b c d - 2 \, C b c d - A a d^{2} + C a d^{2} + B b d^{2}\right )} {\left (f x + e\right )}}{c^{4} + 2 \, c^{2} d^{2} + d^{4}} + \frac {{\left (B a c^{2} + A b c^{2} - C b c^{2} - 2 \, A a c d + 2 \, C a c d + 2 \, B b c d - B a d^{2} - A b d^{2} + C b d^{2}\right )} \log \left (\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1\right )}{c^{4} + 2 \, c^{2} d^{2} + d^{4}} + \frac {2 \, {\left (C b c^{4} - B a c^{2} d^{2} - A b c^{2} d^{2} + 3 \, C b c^{2} d^{2} + 2 \, A a c d^{3} - 2 \, C a c d^{3} - 2 \, B b c d^{3} + B a d^{4} + A b d^{4}\right )} \log \left ({\left | d \tan \left (f x + e\right ) + c \right |}\right )}{c^{4} d^{2} + 2 \, c^{2} d^{4} + d^{6}} - \frac {2 \, {\left (C b c^{4} \tan \left (f x + e\right ) - B a c^{2} d^{2} \tan \left (f x + e\right ) - A b c^{2} d^{2} \tan \left (f x + e\right ) + 3 \, C b c^{2} d^{2} \tan \left (f x + e\right ) + 2 \, A a c d^{3} \tan \left (f x + e\right ) - 2 \, C a c d^{3} \tan \left (f x + e\right ) - 2 \, B b c d^{3} \tan \left (f x + e\right ) + B a d^{4} \tan \left (f x + e\right ) + A b d^{4} \tan \left (f x + e\right ) + C a c^{4} + B b c^{4} - 2 \, B a c^{3} d - 2 \, A b c^{3} d + 2 \, C b c^{3} d + 3 \, A a c^{2} d^{2} - C a c^{2} d^{2} - B b c^{2} d^{2} + A a d^{4}\right )}}{{\left (c^{4} d + 2 \, c^{2} d^{3} + d^{5}\right )} {\left (d \tan \left (f x + e\right ) + c\right )}}}{2 \, f} \]

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(2*(A*a*c^2 - C*a*c^2 - B*b*c^2 + 2*B*a*c*d + 2*A*b*c*d - 2*C*b*c*d - A*a*d^2 + C*a*d^2 + B*b*d^2)*(f*x +
e)/(c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4) + (B*a*c^2 + A*b*c^2 - C*b*c^2 - 2*A*a*c*d + 2*C*a*c*d + 2*B*b*c*d - B*a*d^2 - A*b*
d^2 + C*b*d^2)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4) + 2*(C*b*c^4 - B*a*c^2*d^2 - A*b*c^2*d^2 + 3*C*
b*c^2*d^2 + 2*A*a*c*d^3 - 2*C*a*c*d^3 - 2*B*b*c*d^3 + B*a*d^4 + A*b*d^4)*log(abs(d*tan(f*x + e) + c))/(c^4*d^2
+ 2*c^2*d^4 + d^6) - 2*(C*b*c^4*tan(f*x + e) - B*a*c^2*d^2*tan(f*x + e) - A*b*c^2*d^2*tan(f*x + e) + 3*C*b*c^
2*d^2*tan(f*x + e) + 2*A*a*c*d^3*tan(f*x + e) - 2*C*a*c*d^3*tan(f*x + e) - 2*B*b*c*d^3*tan(f*x + e) + B*a*d^4*
tan(f*x + e) + A*b*d^4*tan(f*x + e) + C*a*c^4 + B*b*c^4 - 2*B*a*c^3*d - 2*A*b*c^3*d + 2*C*b*c^3*d + 3*A*a*c^2*
d^2 - C*a*c^2*d^2 - B*b*c^2*d^2 + A*a*d^4)/((c^4*d + 2*c^2*d^3 + d^5)*(d*tan(f*x + e) + c)))/f

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 21.23 (sec) , antiderivative size = 1875, normalized size of antiderivative = 6.42 \[ \int \frac {(a+b \tan (e+f x)) \left (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x)\right )}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int(((a + b*tan(e + f*x))*(A + B*tan(e + f*x) + C*tan(e + f*x)^2))/(c + d*tan(e + f*x))^2,x)

[Out]

(log(c + d*tan(e + f*x))*(d^4*(A*b + B*a) - d^3*(2*B*b*c - 2*A*a*c + 2*C*a*c) - d^2*(A*b*c^2 + B*a*c^2 - 3*C*b
*c^2) + C*b*c^4))/(f*(d^6 + 2*c^2*d^4 + c^4*d^2)) - (log((A*B*b^2*d^4 - A*B*a^2*d^4 + B*C*a^2*d^4 + B*C*b^2*c^
4 - A^2*a*b*d^4 + B^2*a*b*d^4 + C^2*a*b*c^4 - A^2*a^2*c*d^3 + A^2*b^2*c*d^3 + B^2*a^2*c*d^3 - B^2*b^2*c*d^3 -
C^2*a^2*c*d^3 + C^2*b^2*c*d^3 + A*B*a^2*c^2*d^2 - A*B*b^2*c^2*d^2 - B*C*a^2*c^2*d^2 + 3*B*C*b^2*c^2*d^2 + A^2*
a*b*c^2*d^2 - B^2*a*b*c^2*d^2 + 3*C^2*a*b*c^2*d^2 - A*C*a*b*c^4 + A*C*a*b*d^4 + 2*A*C*a^2*c*d^3 - 2*A*C*b^2*c*
d^3 - 4*A*C*a*b*c^2*d^2 + 4*A*B*a*b*c*d^3 - 4*B*C*a*b*c*d^3)/(d*(c^2 + d^2)^2) + (tan(e + f*x)*(A^2*a^2*d^4 +
B^2*b^2*d^4 + C^2*a^2*d^4 + C^2*b^2*c^4 + C^2*b^2*d^4 + A^2*b^2*c^2*d^2 + B^2*a^2*c^2*d^2 + 3*C^2*b^2*c^2*d^2
- 2*A*C*a^2*d^4 - A*C*b^2*c^4 - A*C*b^2*d^4 - 4*A*C*b^2*c^2*d^2 - 2*A*B*a*b*d^4 - B*C*a*b*c^4 + B*C*a*b*d^4 -
2*A*B*a^2*c*d^3 + 2*A*B*b^2*c*d^3 + 2*B*C*a^2*c*d^3 - 2*B*C*b^2*c*d^3 - 2*A^2*a*b*c*d^3 + 2*B^2*a*b*c*d^3 - 2*
C^2*a*b*c*d^3 + 2*A*B*a*b*c^2*d^2 - 4*B*C*a*b*c^2*d^2 + 4*A*C*a*b*c*d^3))/(d*(c^2 + d^2)^2) + ((a*1i + b)*(B*1
i - A + C)*(A*a*d - B*b*d - C*a*d - 4*C*b*c + (tan(e + f*x)*(3*A*b*d^4 + 3*B*a*d^4 + 2*C*b*c^4 - 5*C*b*d^4 + 4
*A*a*c*d^3 - 4*B*b*c*d^3 - 4*C*a*c*d^3 - A*b*c^2*d^2 - B*a*c^2*d^2 + C*b*c^2*d^2))/(d*(c^2 + d^2)) + (d*(a*1i
+ b)*(4*c*d - c^2*tan(e + f*x) + 3*d^2*tan(e + f*x))*(B*1i - A + C))/(c*1i + d)^2))/(2*(c*1i + d)^2))*(A*a*1i
+ A*b + B*a - B*b*1i - C*a*1i - C*b))/(2*f*(c*d*2i - c^2 + d^2)) - (log((A*B*b^2*d^4 - A*B*a^2*d^4 + B*C*a^2*d
^4 + B*C*b^2*c^4 - A^2*a*b*d^4 + B^2*a*b*d^4 + C^2*a*b*c^4 - A^2*a^2*c*d^3 + A^2*b^2*c*d^3 + B^2*a^2*c*d^3 - B
^2*b^2*c*d^3 - C^2*a^2*c*d^3 + C^2*b^2*c*d^3 + A*B*a^2*c^2*d^2 - A*B*b^2*c^2*d^2 - B*C*a^2*c^2*d^2 + 3*B*C*b^2
*c^2*d^2 + A^2*a*b*c^2*d^2 - B^2*a*b*c^2*d^2 + 3*C^2*a*b*c^2*d^2 - A*C*a*b*c^4 + A*C*a*b*d^4 + 2*A*C*a^2*c*d^3
- 2*A*C*b^2*c*d^3 - 4*A*C*a*b*c^2*d^2 + 4*A*B*a*b*c*d^3 - 4*B*C*a*b*c*d^3)/(d*(c^2 + d^2)^2) + (tan(e + f*x)*
(A^2*a^2*d^4 + B^2*b^2*d^4 + C^2*a^2*d^4 + C^2*b^2*c^4 + C^2*b^2*d^4 + A^2*b^2*c^2*d^2 + B^2*a^2*c^2*d^2 + 3*C
^2*b^2*c^2*d^2 - 2*A*C*a^2*d^4 - A*C*b^2*c^4 - A*C*b^2*d^4 - 4*A*C*b^2*c^2*d^2 - 2*A*B*a*b*d^4 - B*C*a*b*c^4 +
B*C*a*b*d^4 - 2*A*B*a^2*c*d^3 + 2*A*B*b^2*c*d^3 + 2*B*C*a^2*c*d^3 - 2*B*C*b^2*c*d^3 - 2*A^2*a*b*c*d^3 + 2*B^2
*a*b*c*d^3 - 2*C^2*a*b*c*d^3 + 2*A*B*a*b*c^2*d^2 - 4*B*C*a*b*c^2*d^2 + 4*A*C*a*b*c*d^3))/(d*(c^2 + d^2)^2) + (
(a + b*1i)*(A + B*1i - C)*(A*a*d - B*b*d - C*a*d - 4*C*b*c + (tan(e + f*x)*(3*A*b*d^4 + 3*B*a*d^4 + 2*C*b*c^4
- 5*C*b*d^4 + 4*A*a*c*d^3 - 4*B*b*c*d^3 - 4*C*a*c*d^3 - A*b*c^2*d^2 - B*a*c^2*d^2 + C*b*c^2*d^2))/(d*(c^2 + d^
2)) + (d*(a + b*1i)*(4*c*d - c^2*tan(e + f*x) + 3*d^2*tan(e + f*x))*(A + B*1i - C)*1i)/(c*1i - d)^2)*1i)/(2*(c
*1i - d)^2))*(A*a + A*b*1i + B*a*1i - B*b - C*a - C*b*1i))/(2*f*(2*c*d - c^2*1i + d^2*1i)) - (A*a*d^3 - C*b*c^
3 - A*b*c*d^2 - B*a*c*d^2 + B*b*c^2*d + C*a*c^2*d)/(d^2*f*(c^2 + d^2)*(c + d*tan(e + f*x)))